代数的整数論/第1章/単数

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$1$の約数なる整数を単数という．

故に単数$\varepsilon$とは$\varepsilon$も$1/\varepsilon$も共に整なる数である．従て単数の積及び商も単数である．

単数の共軛数も単数である．よって$\varepsilon$を単数とすれば，$N\varepsilon =\varepsilon \varepsilon '\varepsilon ''\cdots \varepsilon ^{(n-1)}$も単数であるが，それは有理整数であるから$\pm 1$に等しい．逆に$\alpha$が整数で，$N\alpha =\alpha \alpha '\cdots \alpha ^{(n-1)}=\pm 1$ならば，$\alpha$は単数である．

〔例 1〕　$1$の巾根は単数である．

〔例 2〕　$(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})=1$．故に$2\pm {\sqrt {3}}$は単数，従てそれの巾$(2\pm {\sqrt {3}})^{n}$は単数である．$(2\pm {\sqrt {3}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {3}}$とすれば，$x_{n},y_{n}$は方程式$x^{2}-3y^{2}=1$の無数の整数解を与える．

〔注意〕代数的整数又はそれの整除の概念に，有理整数の場合のような数量的(大小)関係が混入されてはならない．例えば$2-{\sqrt {3}}$は整であるが，それは$1$よりも少だから，それの巾なる整数$(2-{\sqrt {3}})^{n}$は$0$に集積する．$2$の約数は必ずしも小さい数ではない．例えば$100+{\sqrt {9998}}$は$2$の約数である．

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