力学/螺子

螺子

動くだけでなく、最も大きな力で止めたり締めたりすることができ、この目的に適し、場所を取らず、他の器具が大きな機械にしなければできないような効果をもたらすように作られている。したがって、ねじは非常に美しく、有用な発明であるから、その起源と性質をできるだけ明確に説明することに努めなければならない。 そのために、まず、一見するとこの器具の考察からやや離れているように見えるが、それでもその基礎と土台である推測から始めることにする。

重いものの運動に関する自然の構造がこのようなものであることは疑いない。それ自体で重力を保っているどんな物体も、自由であれば中心に向かって動く性質があり、まっすぐな垂直線だけでなく、そうしなければできないときは、中心に向かって何らかの傾斜を持ち、少しずつ下がっていく他のあらゆる線によっても動くのだ。例えば、水はある場所から垂直に下に落ちるだけではなく、川の流れのように、ごくわずかではあるが傾斜した線を描いて地表を流れていることがわかる。すべての流体体に見られるのと同じ効果が、その形状やその他の偶発的、外的な障害に妨げられなければ、硬い体にも現れるだろう。このように、鏡のような非常にきれいに磨かれた面と、大理石やガラス、あるいは洗浄に適した同様の材料でできた、完全に丸く滑らかな球があるとすると、これをその面に置くと、わずかでも傾きがあれば動き、水平面から正確に等距離にある面でのみ止まることになるのである。例えば、凍った湖や池の表面で、その上で球状体は静止しているが、非常に小さな力でも動かせるように配置されている。というのも、この平面が髪の毛一本分しか傾いていなければ、前記球は自然に傾斜している側へ移動し、逆に抵抗を受けて、急勾配または上昇する側へ何らかの暴力なしに移動できないことが理解できたからである。そのため、球を動かすにはどんな小さな力でも十分であり、一方、球を取り囲む空気のようなどんな小さな抵抗でも球を静止させるには十分な力があるのである。

つまり、重量のある物体は、外的な障害や前進する障害をすべて取り除けば、どんな小さな力でも地平線の平面内で移動させることができる。しかし、同じ体を上昇する平面上に押し上げなければならないとき、それがこの上昇に抵抗し始めると（それは反対方向に移動する傾向を持っているので）、より大きな暴力が必要となり、前記平面の上昇の程度が大きいほど、さらに大きなものとなるであろう。例えば、移動体Gは地平線に平行な線AB上に構成されているので、これまで述べてきたように、移動体Gは線AB上に留まることができるように、その中で運動と静止に無関心であることになる。

これは、線分DAよりも線分EAに、線分CAよりも線分DAにそって下方に移動する推進力が大きいという事実から生じています。したがって、同様に、重量体の体は、一方が他方より高くなるか低くなるかによって、異なる高さの平面上を移動することに対して大きな抵抗を受けると結論づけることができ、最後に、同じ重量体が垂直なAFで持ち上げられることに対する抵抗は非常に大きいと結論づけることができる。しかし、重量をさまざまな高さに持ち上げるためには、重量に対してどのような割合の力が必要なのか、先に進むにつれて正確に述べる必要がある。そうすれば、これから述べることを完全に理解することができるだろう。

したがって、点C、D、Eからの垂線が水平線AB上に落ちるようにし、それをCH、DI、EKとすると、垂線CHがACより小さい割合に応じて、昇降面AC上の同じ重さは垂線AF（自分と同じ力で持ち上げられる）より小さい力で動くことが示されるでしょう。そして、平面ADでは、重量に対する力が垂線ID対DAと同じ割合になるようにし、最後に平面AEでは、重量に対する力がKE対EAの割合になるように観察することができます。

この推測は、パッポ・アレッサンドリーノが『数学全集』の第8巻で再び試みた。しかし、私の考えでは、彼はゴールに到達せず、錘が与えられた力によって水平面内で移動しなければならないという仮定に目がくらんでしまったのである。というのも，与えられた錘を水平面で動かすために，（理論家が考慮しない偶発的な障害が取り除かれると）評価できる力は求められないからである。したがって，次に，それが高架面でどんな力によって動かされるかを求めることは無駄である。したがって、錘を垂直上方に動かす力（錘の重力に等しい）があるとすれば、錘を垂直面内で動かす力は何でなければならないかを追求する方がよいだろう。

そこで、円AICを理解し、その中に直径ABC、中心B、そして極点AとCに等しいモーメントの2つの重りがあるとして、線ACが中心Bの周りを動くベットまたはポンドであることから、このように考えます。

それは、重りCを重りAで支えることになります。しかし、もし、ポンドBCの腕が線BFに沿って下方に曲げられ、2つの線ABとBFが点Bでしっかりと合わさったままになると想像すると、BIに従って支えBから地球の中心に向かう方向の線からの点Fの距離が減少するため、重りCのモーメントはもはや重りAのモーメントと等しくならないだろう。しかし、点FからBCに垂直な線、例えばFKを引くと、Fでの重りのモーメントは線KBからぶら下がっているようにそれなり、距離KBが距離BAによって減少するように、重りFのモーメントも重りAのモーメントによって減少することになります。同様に、線分BLにしたがって重りがより傾くと、そのモーメントは減少し、線分MLにしたがって距離BMからぶら下がっているようになります。このとき、LはAに置かれた重りで支えることができ、距離BAが距離BMより大きいときにはそれよりも小さくなっています。したがって、線分BCの端に置かれた錘を円周CFLIに沿って下方に傾斜させると、手から下へ向かう勢いと推進力が弱まり、線分BFとBLでより多く支えられるようになることがわかる。しかし、この墓が下降し、半径BFとBLに支えられ、円周CFLに沿って歩かざるを得ないと考えるのは、同じ円周CFLIが、同じように曲がって動く面であり、それに寄りかかると、その中に下降せざるを得ないと考えるのと変わりはない。この2つの方法のどちらで家具が同じ旅をするとしても、それが中心Bから吊り下げられて円の半径で支えられているか、この支えを持ち上げて円周CFLI上に乗っているかには違いがない。したがって、墓がC点から円周CFLIに沿って降ろされるとき、最初のC点では、その降下は完全で積分であると断言できる。なぜなら、それは円周によってどの部分も支持されておらず、この最初のC点では、垂直で偶発的なDCEで自由になる運動と異なる性質を持っていないのである。しかし、家具が点Fに構成されている場合、それにかかる円軌道によって、その重力は部分的に支えられ、線BKがBCに打ち勝つ割合でその下降モーメントは減少する。 しかし、家具がFにあるとき、この運動の最初の点では、あたかも偶有線GFHに沿って上昇する平面にあるかのように、点Fにおける円周の傾斜は接触の鈍角を除いて偶有FGの傾斜と異ならないのである。そして、同じように、点Lで、線分BMがBCから減少するにつれて、同じ移動体のモーメントが減少することがわかる。したがって、点Lで円上に偶発する平面では、線分NLOに従って、底への降下モーメントは移動体で同じ割合で減少する。したがって、平面HGの上では、キャビネットのモーメントは、線BCまたはBFに対する線KBの割合に従って、垂直DCEにおいて持っているその総運動量によって減少する。三角形KBFとKFHの類似性から、直線KFとFHの間には前記直線KBとBFの間と同じ割合が存在するので、家具が地平線に垂直な方向に持つ積分と絶対運動量は、それが傾斜面HFの上に持つものに対して、直線HFと直線FK、つまり傾斜面の長さとそこから地平線上に落ちる垂直な方向と同じ割合を持っていると結論づけることにする。だから、より明確な図、つまり現在の図に渡すと、底に来る瞬間は装置が傾斜面 FH 上で水平線に垂直な線 FK に引かれる全モーメントに対して持つモーメントは、線 KF と FH の比率と同じです。そして、そうであるならば、垂直FKで重さを支える力がそれと等しくなければならないように、傾斜面FHで重さを支えるには、垂直FKが直線FHから外れている分だけ、それが小さければよいことは明らかであろう。そして、他のところで観察されたように、錘を動かすのに使われる力は、錘を支えるのに使われる力を不可避的に上回ればよいので、この普遍的命題を結論づけると、傾斜面では錘にかかる力は、水平に引いた面の端からの垂線と面の長さの比率と同じでなければなりません。

さて、最初の課題であるねじの性質を調べることに戻って、線分ABが水平、BCが水平線に垂直、ACが仰角の三角形ACBを考えてみよう。その上を家具Dは、線分BCがACより短いので、後者よりずっと小さな力で引っ張られることになる。しかし、同じ重さを同じ平面ACの上に上げるには、三角形CABが静止している間に重さDをCの方へ移動させなければならない。ちょうど、同じ重さを垂線AEから取り除かずに、三角形をHの方へ前進させた場合、家具が敷地FHGにあれば、高さがAIであることが分かるからである。さて最後に、ネジの原形と本質は、似たような三角形ACBに他ならず、これが前方に押し出されると、持ち上げられるべきベースが引き込まれ、ヘッドで持ち上げられる（と言われている）のである。最初の発明者が誰であれ、三角形ABCが前方に来ると重りDを持ち上げることを考えると、このような最初の起源があった。

しかし、このような機械をもっと小さく便利な形にする方法をよく考えて、彼は同じ三角形を取り、それを包んで円筒ABCDに巻き付けた。そうすると、この三角形の高さ、すなわち線CBは円筒の高さを作り、上昇する平面は線AEFGHによって描かれた螺旋線、すなわち我々が俗にネジ虫と呼ぶものを前記円筒の上に生成した。

ギリシアでは蝸牛と呼ばれ、私たちはネジと呼んでいる。そして、高架の平面上では、重りの力は、平面の垂直な高さとその長さと同じ割合であることをすでに示したので、ねじABCDの力は、全体のウォームAEFGHの長さが高さCBを超える割合で掛けられることが理解できるだろう。このことから、ねじはより太い螺旋で形成されているので、高さがそれほど高くなく、長さがその垂直方向の高さに比例する平面から発生するねじと同じ強度を持つことがわかる。しかし、もし提案されたねじの強さを求めようとするならば、そのウォーム全体の長さやシリンダー全体の高さを測る必要はなく、例えば、点AEFの長さに距離AFが何倍含まれているかというように、隣接する2点間の距離が同じウォームの1点に何倍収まっているかを調べれば十分であり、これはウォーム全体に対する全高CBの割合と同じであることに注意しないわけにはいかないだろう。この道具の性質についてこれまで述べてきたことがすべて理解できたなら、他のすべての事情も難なく理解できるに違いない。たとえば、ねじに重りを取り付ける代わりに、その母ねじに中空の螺旋を取り付け、その中に雄、つまりねじのウォームを回転させて、母ねじとそれに取り付けられた重りを持ち上げて上昇させるというようにだ。最後に、すべての機械装置に必要であると最初に言われた、「機械装置によって得られる力と同じだけ、時間と速度が失われる」という考慮を見落としてはならない。しかし、このことは、今回の推測では、それほど真実であり、明らかであるとは思えない。それどころか、ここでは、モーターが可動部よりもさらに動くことなく、力が倍加されているように思われるのだ。なぜなら、三角形ABCを地平線の平面と理解すれば、線分ABを地平線の平面、線分ACを高架の平面と理解し、その高さは垂直線CBから測定し、平面ACの上に家具を置き、それにロープEDFを結び、線分BCが線分ACに対して持つのと同じ割合の力または重りをFに置くと、上に示したことから、家具Eを高架の平面上に引っ張るとき重りFは下に落ち、当該重りFは家具Aが線分AC上で測定したよりも下に落ちるときの距離が大きく測定できることになります。しかし、ここで注意しなければならないのは、家具Eが直線AC全体を横切ったのと同時に、もう一方の身体Fが等距離だけ下降した場合、少なくとも身体Eは垂直なCBよりも身体群の共通中心から遠ざかることはなく、直角に下降する身体Fは直線AC全体から等距離だけ下降したことになります。そして、物体は地球の中心から遠ざかる限りは横運動に抵抗しないので、移動物体Eが全運動ACにおいて線CB以上に上昇せず、他方の物体Fが全長ACの範囲で垂直に下降すると、力Eの旅に対する力Fの旅は線ACと線CBのように、すなわち重量Eと重量Fのように正当に比例すると言うことができるのである。したがって、運動が行われる線、特に無生物の運動について考えることは非常に重要である。このうち、モーメントは地平線に垂直な線において全力と全抵抗を持つが、横方向に高くなったり曲がったりしている他の線では、前記曲がりが垂直な高さにどれだけ近づくかによって、多かれ少なかれ力、推進力、抵抗となる。

訳注