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（四）

開平の演算

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又一般に $A$ の平方根の整數部分 $Q$ を定め得たるとき，$\alpha$ を以て $10^{2n}$ より小なる數となして

$A_{1}=A\times 10^{2n}+\alpha ;\qquad {\sqrt {A_{1}}}=Q\times 10^{n}+\chi$

と置き，$\chi$ を求めんとするに，上の關係より

${\frac {A_{1}-10^{2n}Q^{2}}{10^{n}}}=2Q\chi +{\frac {\chi ^{2}}{10^{n}}}$

左邊の數を計算して之を $R$ と名づけ，又 $\chi$ の $10^{n}$ より小なるに着眼して

$2Q\chi +\chi >R\geqq 2Q\chi$

を得．故に

${\frac {R}{2Q}}\geqq \chi >{\frac {R}{2Q+1}}$

を得．$\chi$ は ${\frac {R}{2Q}}$ と ${\frac {R}{2Q+1}}$ との中間にあり．此二つの商の數字の一致する限りは，卽ち $\chi$ の首位にして

${\frac {R}{2Q}}-{\frac {R}{2Q+1}}={\frac {R}{2Q(2Q+1)}}<{\frac {R}{4Q^{2}}}$