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（二）

有理指數の冪

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基數 $a$ が $1$ より大なるときは，先づ $\mu$ が $0$ なるとき $a^{\mu }$ は $1$ に等し．$\mu$ が正數ならば $a^{\mu }$ は $1$ より大なり．げにも $\mu ={\frac {m}{n}}$ と置き $m$，$n$ を共に自然數となさば，$a^{m}$ は $1$ より大にして前節の定理によりて ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ は $1$ より大なり．又 $\mu$ が負數なるときは $\mu =-{\frac {m}{n}}$ と置くに $a^{\mu }$ は $a^{\frac {m}{n}}$ の逆數に等しく $a^{\frac {m}{n}}$ は $1$ より大なるが故に $a^{\mu }$ は $1$ より小なり．

一般に $a>1$ なるときは $a^{\mu }$ は指數と共に增大す，卽ち $\mu >\nu$ に伴ひて $a^{\mu }>a^{\nu }$ なり．げにも $a^{\mu }-a^{\nu }=a^{\nu }(a^{\mu -\nu }-1)$ にして $a^{\nu }$ は固より正，又 $\mu -\nu$ は正なるが故に $a^{\mu -\nu }>1$ よりて $a^{\mu }-a^{\nu }$ は正數なり．

是故に基數 $a$ が $1$ より大なるときは $a^{\mu }$ は $\mu$ と共に單調に增大す．今其連續的なるべきを證せんが爲に先づ $\mu$ が $0$ に近迫するとき $a^{\mu }$ は限りなく $1$ に近迫するを示さんとす．先づ $c$ を $1$ より大にして如何程 $1$ に近き數なりとすとも，前節の定理によりて

$1<a^{\frac {1}{n}}<c$