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十

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極限及連續的算法

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を採り，次の如くして $a\ldots a'$ なる間隙の數を二群に分つ，$f(\xi )<\beta$ なる如き數 $\xi$ 卽ち例へば $\xi =a$ は第一の群に屬し，$f(\xi )>\beta$ なる如き數 $\xi$ 卽ち例へば $\xi =a'$ は第二の群に屬す．第一の群に屬せる數は凡て第二の群に屬せる數よりも小なり．さて此等兩群のいづれにも屬せざる數ありとせばそは $f(\xi )=\beta$ ならしむべき數にして斯の如き數 $\xi$ の若し存在すとも，唯一個に限るべきことは始めより明白なり．是故に轉倒の可能なるを證せんと欲せば上述の兩群の未だ $a\ldots a'$ なる間隙の凡ての數を網羅せざるを確むるを以て充分なりとすべし．假に此等の兩群にして $a\ldots a'$ なる間隙の凡ての數を網羅せりとなさば，連續の法則によりて，第一群に最大の數あるか又は第二群に最小の數あるか，いづれか其一に居らざるを得ず．若し第一群に最大の數あらば，之を $\gamma$ と名づくるに，$\gamma$ は第一群に屬するが故に $f(\gamma )<\beta$ 又 $\gamma$ より大なる數は盡く第二群に屬すべきが故に $\varepsilon$ を如何なる正數となすとも $f(\gamma +\varepsilon )>\beta$ 卽ち $f(\gamma +\varepsilon )-f(\gamma )>\beta -f(\gamma )$ にして $f(\gamma +\varepsilon )$ と $f(\gamma )$ との差は $\varepsilon$ を如何に小ならしむるも決し