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十

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極限及連續的算法

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に定めて $b_{n}-\beta$ なる差の絕對値をして恆に $\varepsilon \gamma ^{2}$ よりも小ならしむることを得．しかするときは

$\left|{\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{b_{n}}}\right|<\varepsilon$

${\frac {1}{b_{n}}}$ の極限にして旣に ${\frac {1}{\beta }}$ なる上は，${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ の極限の ${\frac {\alpha }{\beta }}$ なるべきこと旣に證明せられたりと謂ふべし．

一般に $a_{n},b_{n}\ldots$ の極限は $\alpha ,\beta \ldots$ なるとき，$F$ を以て $\xi ,\eta \ldots$ 等の數の間に引續き四則算法を或定まれる順序に施すべきことを示し $F(\xi ,\eta \ldots )$ を以て此算法の總結果となすときは

$\lim _{n=\infty }F(a_{n},b_{n},\ldots )=F(\alpha ,\beta ,\ldots )$

なり．例へば $a_{n}^{2}+b_{n}^{2}$ の極限は $\lim(a_{n}^{2})+\lim(b_{n}^{2})$ に等しく，而して $\lim(a_{n}^{2})$ は $\alpha ^{2}$ に又 $\lim(b_{n}^{2})$ は $\beta ^{2}$ に等しきが故に $a_{n}^{2}+b_{n}^{2}$ の極限は $\alpha ^{2}+\beta ^{2}$ なり．最一般なる場合に上の定理を證明せんと欲せば，數學的歸納法を用ゐて關係せる數 $\alpha ,\beta \ldots$ が $N$ 個なる場合を，$N$ 個より少數の數の關係せる場合に歸着せしむ