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十

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極限及連續的算法

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に $m$ を定め，以て

$|\alpha -a_{m+\mu }|<{\frac {\varepsilon }{2}}$

ならしむ．又 $B$ の極限は $\beta$ なり，${\frac {\varepsilon }{2}}$ に應じて相當に $m'$ を定め以て

$|\beta -b_{m'+\mu }|<{\frac {\varepsilon }{2}}$

ならしむ．$m$，$m'$ の中大なる方を $n$ と名づけて

$\alpha +\beta -(a_{n+\mu }+b_{n+\mu })$

を作るに此差は $\varepsilon$ より小なり．卽ち

$a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots a_{n}+b_{n},\ldots$

の極限は $\alpha +\beta$ なるを確め得たり．減法の場合亦類推すべし．

さて $a_{n}b_{n}$ の極限は如何．

${\begin{aligned}\alpha \beta -a_{n}b_{n}&=\alpha \beta -\beta a_{n}+\beta a_{n}-a_{n}b_{n}\\&=\beta (\alpha -a_{n})+a_{n}(\beta -b_{n})\end{aligned}}$

$A$ の諸數に一定の上限あり，此上限と $\beta$ とのいづれよりも小ならざる數の一