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十

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極限及連續的算法

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次の如く訓むべし．曰く，「$n$ 無限に增大するとき $a_{n}$ の極限は $\lambda$ なり」又は「$n$ の無限に增大するとき $a_{n}$ は $\lambda$ なる極限に近迫す．」斯の如き用語は，複雜なる事實を簡潔に指示せん爲に用ゐる暗號に過ぎざるを看取すべし．$n$ を如何なる自然數となすとも $a_{n}$ は決して $\lambda$ に等しからず．例へば $S$ は

$0.9,0.99,0.999,\ldots$

等の數より成れりとするとき，極限は卽ち $1$ なり．然れども桁數を如何に多くとるとも斯の如き有限小數の決して $1$ に等しきことなし．$0.{\dot {9}}=0.999\cdots$ なる無限小數は $1$ に等しといふは實は $S$ の極限 $1$ なりといふに異ならず．

然れども例へば $\alpha =1.25$，$\beta =3.748$ の如き有限小數につきて前の如く ${\frac {r_{n}}{s_{n}}}$ を作るときは $n$ が $3$ 以上となるとき ${\frac {r_{n}}{s_{n}}}$ は常に ${\frac {1250}{3748}}$ に等しき如き特別の場合あり．此場合に於ては ${\frac {\alpha }{\beta }}$ は本來の意義に於ての ${\frac {r_{n}}{s_{n}}}$ の極限に非ず．之をしも極限の中に算するは，强て極限の意義を擴張して以て或場合に於ける用語の上の便利を享けんとするなり．