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十

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極限及連續的算法

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$=\beta (\alpha -r_{n})-\alpha (\beta -s_{n})$

にして $\alpha -r_{n}$，$\beta -s_{n}$ は共に ${\frac {1}{t^{n}}}$ を超えず，隨て $\alpha s_{n}-\beta r_{n}$ は其絕對値に於て ${\frac {c}{t^{n}}}$ より小なり．又絕對値に於て $s_{1},s_{2}\ldots$ のいづれよりも小なる正數を任意にとりて之を $h$ と名づくれば $\beta s_{n}$ は $h^{2}$ より大なり，是故に

${\frac {\alpha }{\beta }}-{\frac {r_{n}}{s_{n}}}$

は絕對値に於て ${\frac {c}{h^{2}}}\cdot {\frac {1}{t^{n}}}$ よりも小なり．こゝに $c$，$h$ 隨て ${\frac {c}{h^{2}}}$ は $n$ には關係なき定まれる數なるに注意すべし．是故に $n$ を增大して已まずば上の差は絕對値に於て漸次減小して究極する所なきを知るべし．卽ち如何に小なる數 $\varepsilon$ を與ふるとも，

$\varepsilon >{\frac {c}{h^{2}}}\cdot {\frac {1}{t^{n}}}$ 卽ち $t^{n}>{\frac {c}{h^{2}\varepsilon }}$

より $n$ を定むるとき，（$t$ を $10$ となさば ${\frac {c}{h^{2}\varepsilon }}$ の整數部分の桁數を $n_{0}$ となすとき $n$ を $n_{0}$ 以上の自然數となして，此條件常に充實せらるべし）${\frac {r_{n}}{s_{n}}}$ は盡く