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（一）

集積點

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す．${\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}\ldots$ 一般に ${\frac {1}{m}}$ も亦 $S$ の集積點なり．然れども ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$ は $S$ の集積點にあらず，$S$ の諸數の中此數に最近きは ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}$ にして，兩者の中間には $n$ の諸數一も存在せず．${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$ は $S$ の最大の數なり．又 $0$ は $S$ の集積點なり．$0$ は $S$ の下限にして，これ卽ち下限が集積點なる例なり．

$\alpha$，$\beta$ を二つの無理數とし，其展開の係數を $t^{-n}$ の項まで採りて作りたる有限小數をそれぞれ $r_{n}$，$s_{n}$ と名づく．今順次 $n$ を $1,2,3\ldots$ となして作り得べき凡ての有理數 ${\frac {r_{n}}{s_{n}}}$ を總括して之を $S$ と名づくるに，${\frac {r_{n}}{s_{n}}}$ は $n$ の愈〻增大するに隨ひて，愈〻 ${\frac {\alpha }{\beta }}$ に近迫して究まる所なしと雖，${\frac {\alpha }{\beta }}$ は $S$ の上限又は下限にあらず．（第九章（十一）を看よ）${\frac {\alpha }{\beta }}$ は $S$ の集積點なり．げにも

${\frac {\alpha }{\beta }}-{\frac {r_{n}}{s_{n}}}={\frac {\alpha s_{n}-\beta r_{n}}{\beta s_{n}}}$

今 $\alpha$，$\beta$ のいづれよりも（絕對値に於て）大なる數の一つを任意に採りて之を $c$ と名づくるに，

$\alpha s_{n}-\beta r_{n}=\alpha \beta -\beta r_{n}-(\alpha \beta -\alpha s_{n})$