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十

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極限及連續的算法

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の如く $9$ を若干個幷べ書きて表はされたる凡ての有限小數を一括して之を $S$ となすときは $1$ は $S$ の上限にして而も其最大にあらず．さて如何程小にてもよし，$\varepsilon$ なる數を與ふるに (1) の諸數の中 $1-\varepsilon$ より大なる者限りなく存在すべし．

一般に限りなく多くの定まれる數の一系統 $S$ の諸數が或定まれる數 $\lambda$ の附近に限りなく集積するときは，$\lambda$ を $S$ の集積點といふ．卽ち $\lambda$ の如何程近くにも，尙詳しく言はゞ，其幅如何程小くともよし，凡そ $\lambda$ を含めるあらゆる間隙の中に，$S$ の諸數が限りなく多く含まるゝなり．但 $\lambda$ なる數自らが $S$ に屬すると然らざるとは問ふ所にあらず．

例へば ${\frac {1}{2}}$，${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$，${\frac {1}{3}}$，${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$ 等，一般に ${\frac {1}{m}}$，${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}$ の如き分數を總括して之を $S$ と名づく．$S$ を組成せる數は凡ての幹分數及び二つの相異なる幹分數の和なり．さて ${\frac {1}{2}}$ は $S$ の集積點なり，げにも ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}},\ldots {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{n}},\ldots$ は $S$ に屬せるが故に，${\frac {1}{2}}$ の如何程近くにも $S$ の數限りなく存在