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九

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無理數

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${\begin{aligned}a'b'-ab&=a'b'-a'b+a'b-ab\\&=a'(b'-b)+b(a'-a)<\varepsilon \end{aligned}}$

卽ち如何なる數 $\varepsilon$ を與ふるとも，$a'b'-ab<\varepsilon$ なる如き $a,a',b,b'$ は必ず存在せり．是によりて $\alpha$，$\beta$ の積 $\gamma$ は $ab$ の上限にして，同時に又 $a'b'$ の下限なりといふことを得．

或は又 $\alpha$，$\beta$ が十進命數法にて與へられたりとし，小數第 $k$ 位までを採り，其他を省略して作りたる有限小數を $a_{k}$，$b_{k}$ と名づくるとき，$a_{k}$，$b_{k}$ はそれぞれ前の $A$，$B$ に屬せる有理數にして $\gamma >a_{k}b_{k}$ 而も $a_{k}b_{k}$ は $k$ と共に增大し $\gamma$ を其上限となす．是旣に屢〻用ゐたる論法によりて容易に證明せられ得べき所にして，實際に於ける無理數乘法の計算は此事實を根據とす．

$\alpha$，$\beta$ の積 $\alpha \beta$ は $ab$ の上限にして又 $\beta \alpha$ は $ba$ の上限なるが故に $\alpha \beta =\beta \alpha$

又 $\alpha$，$\beta$ の外 $\gamma$ を採り $\gamma$ より小又大なる有理數を一般に $c$，$c'$ と名つくれば $(\alpha \beta )\gamma$ は $(ab)c$ の上限にして $\alpha (\beta \gamma )$ は $a(bc)$ の上限なり．さて $(ab)c=a(bc)$ な