a b {\displaystyle ab} に上限あり,之を γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} と名づく, a ′ b ′ {\displaystyle a'b'} に下限あり,之を γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} と名づく.しかするときは
さて γ 2 > γ 1 {\displaystyle \gamma _{2}>\gamma _{1}} なることを得ず.假に γ 2 > γ 1 {\displaystyle \gamma _{2}>\gamma _{1}} なりとせば γ 2 > c 2 > c 1 > γ 1 {\displaystyle \gamma _{2}>c_{2}>c_{1}>\gamma _{1}} なる如き有理數 c 1 {\displaystyle c_{1}} , c 2 {\displaystyle c_{2}} の存在を認めざるを得ず,是故に γ 2 > γ 1 {\displaystyle \gamma _{2}>\gamma _{1}} を如何やうに選むとも常に a ′ b ′ − a b {\displaystyle a'b'-ab} が一定の數 ( c 2 − c 1 ) {\displaystyle (c_{2}-c_{1})} より大なりと主張するに異ならず.斯の如き主張は次の如くにして之を轉覆すべし.先づ α {\displaystyle \alpha } よりも又 β {\displaystyle \beta } よりも大なる一個の自然數 g {\displaystyle g} を任意に定め,又別に ε {\displaystyle \varepsilon } なる數を與ふるに
なる如く,同時に又 g > a ′ {\displaystyle g>a'} , g > b ′ {\displaystyle g>b'} なる如く, a {\displaystyle a} , a ′ {\displaystyle a'} , b {\displaystyle b} , b ′ {\displaystyle b'} を採ることを得べし,さて