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九

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無理數

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$\alpha$，$\beta$ の積 $\gamma$ は

$\gamma :\alpha =\beta :1$

なる條件によりて定めらるべき數なり．是故に今 $b$ を以て $\beta$ より小なる有理數となすときは $\beta :1>b$ 隨て $\gamma :\alpha >b$ 卽ち $\gamma >b\alpha$．又 $b'$ を $\beta$ より大なる有理數となすときは $\gamma <b'\alpha$．卽ち

$b'>\beta >b,\quad b'\alpha >\gamma >b\alpha .$

是故に $b\alpha$ の上限は $\gamma$ を超えず又 $b'\alpha$ の下限は $\gamma$ を下らず，$b$，$b'$ を相當に選みて其差をば如何程にても小ならしむることを得べきが故に，此上限と下限とは實は同一の數にして共に $\gamma$ に等し．卽ち $\alpha$ に $\beta$ を乘せる積 $\gamma$ は，$b\alpha$ の上限，又は $b'\alpha$ の下限なりといふことを得．

$\alpha$，$\beta$ なる兩因子に對等の位置を與へんと欲せば，$\alpha$ より小又大なる有理數を一般に $a$，$a'$ と名づけ，之を一括して $A$，$A'$ とす．$\beta$ につきても亦同樣の名稱を適用するに，