α : β > m n {\displaystyle \alpha :\beta >{\frac {m}{n}}} よりて定理は成立せり．
三， α : β = γ : δ {\displaystyle \alpha :\beta =\gamma :\delta } なるときは又 α : γ = β : δ {\displaystyle \alpha :\gamma =\beta :\delta } なり．
證，假に α : γ {\displaystyle \alpha :\gamma } と β : δ {\displaystyle \beta :\delta } 相等しからず，例へば前者は後者より大なりとなさば
なる如き有理數 r {\displaystyle r} 存在せざるを得ず．隨て
故に一，二によりて α : β > r γ : β > r γ : r δ {\displaystyle \alpha :\beta >r\gamma :\beta >r\gamma :r\delta } 隨て α : β > γ : δ {\displaystyle \alpha :\beta >\gamma :\delta } を得，前提に矛盾す．
四，比例式の定理． β {\displaystyle \beta } ， γ {\displaystyle \gamma } ， δ {\displaystyle \delta } なる三つの數與へられたる時は
なる如き數 α {\displaystyle \alpha } は必ず，而も唯一個に限り存在すべし．
此定理は連續の法則を根據とす．先づ ξ : β > γ : δ {\displaystyle \xi :\beta >\gamma :\delta } なる如き數 ξ {\displaystyle \xi } は凡て之を O {\displaystyle {\bf {O}}} に編し，又 η : β < γ : δ {\displaystyle \eta :\beta <\gamma :\delta } なる如き數 η {\displaystyle \eta } を一括して之を U {\displaystyle {\bf {U}}} と名づく． ξ {\displaystyle \xi } は凡て η {\displaystyle \eta }
よりて定理は成立せり．
なるときは又 
なり．
と 
相等しからず，例へば前者は後者より大なりとなさば
存在せざるを得ず．隨て
隨て 
を得，前提に矛盾す．
，
，
なる三つの數與へられたる時は
は必ず，而も唯一個に限り存在すべし．
なる如き數 
は凡て之を 
に編し，又 
なる如き數 
を一括して之を 
と名づく． は凡て
