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（十）

比例に關する定理

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$n\alpha \gtreqqless m\beta$ と同時に $\alpha :\beta \gtreqqless {\frac {m}{n}}$

$\alpha$，$\beta$，$\alpha '$，$\beta '$ なる二對の數與へられたるとき

$\alpha :\beta >r>\alpha ':\beta '$

なる如き有理數 $r$ 存在するときは $\alpha :\beta$ は $\alpha ':\beta '$ より大なりとし，又若し斯の如き有理數 $r$ 存在せざるときは $\alpha :\beta$ と $\alpha ':\beta '$ とは相等しといふ．

比の相等大小を定むるに，有理數を用ゐたりと雖，こは只言語の簡約を期するの意に出でたるに過ぎずして，內容に於ては上の定義はユークリツドのそれと異なることなし．

$\alpha :\beta$ が有理數に等しからざるときは，此比は有理數の範圍を兩斷す，此兩斷は或一個の無理數 $\gamma$ によりて惹起さるゝ者にして，此場合には上述の比の相等の定義に從て $\alpha :\beta$ と $\gamma :1$ と相等し，或は $\alpha :\beta$ は無理數 $\gamma$ に等し，（三）を看よ．然れども吾人は此處に姑らく $\alpha :\beta$ を $\gamma$ に等しとなすてふ現代の思想を離れ，ユークリツドと同一の見地に立ち，專ら上述の定義に固着して次の諸