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九

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無理數

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上限あり，之を $\gamma '$ と名づく．しかするときは $\gamma$ と $\gamma '$ とは相等し．げにも假に $\gamma '>\gamma$ なりとするに，$\gamma '$ より小にして，而も如何程にても之に近き或 $a'+b'$ あり，又 $\gamma$ より大にして，而も如何程にても之に近き或 $a+b$ あるが故に，$\gamma '>\gamma$ より或 $a'+b'$ が或 $a+b$ より大なりとの容すべからざる結論を得．故に $\gamma '$ は $\gamma$ より大なるを得ず．嚴密なる數學的「句調」を以て之を再言せば，先 $\gamma '>\gamma$ ならば，必ず $\gamma '>\mu >\gamma$ なる如き數 $\mu$ 存在す，さて $\gamma$ は $a+b$ の下限にして，$\mu$ は $\gamma$ より大なるが故に，下限の定義によりて $\mu >a+b>\gamma$ なる如き $a$，$b$ 存在せざるを得ず．又 $\gamma '$ は $a'+b'$ の上限にして $\mu$ は $\gamma '$ より小なるが故に $\gamma '>a'+b'>\mu$ なる如き $a'$，$b'$ 存在せざるを得ず．是に於て $a'+b'>a+b$ なる容すべからざる結論を生ず．

次に又 $\gamma '<\gamma$ となさば $\gamma '<r'<r<\gamma$ なる如き二個の有理數 $r$，$r'$ を採るに，$a'+b'<r'<r<a+b$ 隨て $(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')<r-r'$ なる不等式恆に成立すべし，是亦容すべからざる事なり．何とならば（四）に言へる如く