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（七）

展開の唯一及其例外

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$r_{k}={\frac {m_{k}}{t^{k}}}=m_{0}+{\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{k}}{t^{k}}};\quad r'_{k}={\frac {m_{k}+1}{t^{k}}}$

なる記法を用ゐ，又

${\overline {\alpha }}=({\overline {m_{0}}}.{\overline {c_{1}}}\,{\overline {c_{2}}}\cdots {\overline {c_{k}}}\cdots )$

につきて ${\overline {r_{k}}}$，${\overline {m_{k}}}$，${\overline {r'_{k}}}$ を同樣の意義に用ゐるとき，直に最一般なる場合を論ぜんが爲に $\alpha$，${\overline {\alpha }}$ の展開は其起首若干項に於ては全く符合し，${\frac {1}{t^{k}}}$ の位に至て始めて相異なる係數を有せりとし，例へば $c_{k}>{\overline {c_{k}}}$ となす．しかするときは

$c_{k}\geqq {\overline {c_{k}}}+1,\quad r_{k}\geqq {\overline {r_{k}}}+{\frac {1}{t^{k}}}={\overline {r'_{k}}}$

さて ${\overline {\alpha }}$ は ${\overline {r'_{0}}},{\overline {r'_{1}}}\ldots {\overline {r'_{k}}}\ldots$ の下限なり，是故に $r_{k}\geqq {\overline {r'_{k}}}$ より

(1)

$r_{k}\geqq {\overline {\alpha }}$

を得．又一方に於て $\alpha$ は $r_{0},r_{1}\ldots r_{k}\ldots$ の上限なり，隨て

(2)

$\alpha \geqq r_{k}.$

(1)，(2) より一般に

$\alpha >{\overline {\alpha }}$

を得．只 (1)，(2) に於て同時に等號を採るべきときに限り $\alpha ={\overline {\alpha }}$ なり．此場合には $\alpha =\alpha '=r_{k}$ にして $\alpha$ 卽ち $\alpha '$ は有理數なり．是卽ち笫六章（九）に說きたる特