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（五）

無理數の展開

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ば，$R'$ の諸數は盡く $m_{0}$ より大なるが故に，$R'$ は一の下限を有す．之を $\gamma '$ と名づくるに $\gamma '$ は $R$ の上限 $\gamma$ と同一の數なり．其故如何にといふに，先づ

$r_{0}\leqq r_{1}\leqq \cdots \leqq r_{k}\cdots <\gamma <\cdots \leqq r'_{k}\cdots \leqq r'_{1}\leqq r'_{0}$

なることは旣に說きたり．今又 $\gamma '$ を $r'_{0},r'_{1},\ldots r'_{k}\ldots$ の下限となせるが故に，$\gamma '$ は $r'_{0},r'_{1},\ldots r'_{k}\ldots$ のいづれよりも小なる數の上限なり，故に $\gamma \leqq \gamma '$ なること旣に確實なり．今更に $\gamma <\gamma '$ なるを得ざるを證明せんに，假に $\gamma <\gamma '$ なりとせば $p(\gamma '-\gamma )>1$ なる如き自然數 $p$ はアルキメデスの法則によりて必ず存在す，よりて $t^{n}>p$ なる如く指數 $n$ を定めて $\gamma '-\gamma >{\frac {1}{t^{n}}}$ を得．さて一方に於て

$r_{n}<\gamma <\gamma '<r'_{n}=r_{n}+{\frac {1}{t^{n}}}$

より $\gamma '-\gamma <r'_{n}-r_{n}={\frac {1}{t^{n}}}$ を得て，こゝに前後矛盾の結論を生ず．$\gamma <\gamma '$ なりとの主張は保持すべからず，$\gamma =\gamma '$ は必至なり．

上文の觀察は要するに次の事實に歸着す．$m_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\ldots$ を豫め與へて，之より前に述べたるが如くにして