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九

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無理數

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際然らざることは，容易に確め得べき所なり．げにも

$r_{0}\leqq r_{1}\leqq \cdots \leqq r_{k-1}\leqq r_{k}<{\frac {m_{k}+1}{t^{k}}}$

$r_{k+n}=r_{k}+{\frac {c_{k+1}}{t^{k+1}}}+\cdots +{\frac {c_{k+n}}{t^{k+n}}}<r_{k}+{\frac {t-1}{t^{k+1}}}+{\frac {t-1}{t^{k+2}}}+\cdots +{\frac {t}{t^{k+n}}}={\frac {m_{k}+1}{t^{k}}}$

にして $r_{0},r_{1},r_{2}\ldots$ は其附數 $k$ より小なると大なるとを問はず，いづれも ${\frac {m_{k}+1}{t^{k}}}$ より小なり．

若し又

${\begin{aligned}r'_{0}&=m_{0}+1=r_{0}+1\\r'_{1}&={\frac {m_{1}+1}{t}}=r_{1}+{\frac {1}{t}}\\r'_{2}&={\frac {m_{2}+1}{t^{2}}}=r_{2}+{\frac {1}{t^{2}}}\\&\cdots \\r'_{k}&={\frac {m_{k}+1}{t^{k}}}=r_{k}+{\frac {1}{t^{k}}}\end{aligned}}$

によりて定めらるゝ無限の有理數 $r'_{0},r'_{1},r'_{2}\ldots$ を一括して之を $R'$ と名づくれ