Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/359

343

（五）

無理數の展開

---

$r_{k}={\frac {m_{k}}{t^{k}}}<\alpha <{\frac {m_{k}+1}{t^{k}}}$

$\ldots$

によりて有理數 $r_{0},r_{1},r_{2}\ldots$ を定むるに，此等は皆 $\alpha$ と共に全く一定す．さて $m_{0}={\frac {m_{0}t}{t}}<\alpha$ なるにより $m_{0}t\leqq m_{1}$ 又 $\alpha <{\frac {(m_{0}+1)t}{t}}$ なるが故に $m_{1}<(m_{0}+1)t$ 卽ち

${\begin{aligned}m_{0}t\leqq \ &m_{1}<m_{0}t+t\\&m_{1}=m_{0}t+c_{1}\qquad c_{1}<t\end{aligned}}$

同樣にして

$m_{2}=m_{1}t+c_{2}=m_{0}t^{2}+c_{1}t+c_{2}\qquad c_{2}<t$

一般に

$m_{k}=m_{k-1}t+c_{k}=m_{0}t^{k}+c_{1}t^{k-1}+\cdots +c_{k},\qquad c_{k}<t$

隨て

$r_{k}=m_{0}+{\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{k}}{t^{k}}}$