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（三）

等分の可能

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は辨を俟たず．若し $(n+1)c>a$ ならば $(n+1)c-a=d$ と置くに，$c>d$ さて $c-d=c'$ となさば $(n+1)c'=(n+1)c-d-nd<(n+1)c-d=a$ 卽ち $c'$ の $n+1$ 倍は $a$ よりも小なり．是によりて當面の定理は凡ての場合に成立せり．

三，$a$ と自然數 $n$ とを與ふるとき $a=n\cdot b$ なる數 $b$ は必ず存在す．

$a\geqq nx$ なる如き數 $x$ の存在すべきことは，只今證明せる所なり．斯の如き數 $x$ を總括して之を $S$ と名づく．$S$ の諸數は一も $a$ を超えず，故に $S$ に上限あり，之を $g$ と名づく．さて $g$ の $n$ 倍は $a$ に等しく，卽ち $g=b$ なり．げにも先づ，$g$ の $n$ 倍は $a$ より小ならず，何とならば若し $a>ng$ ならば $a-ng>n\delta$ なる如き數 $\delta$ は必ず存在す，隨て $a>n(g+\delta )$ 卽ち $g$ より大なる數 $g+\delta$ が $S$ に屬せりとの不都合なる結論に陷る．又 $g$ の $n$ 倍は $a$ より大ならず，何とならば若し $ng>a$ ならば $ng-a>n\varepsilon$ にして且 $g>\varepsilon$ なる如き數 $\varepsilon$ は必ず存在す．隨て $n(g-\varepsilon )>a$ さて $g-\varepsilon$ は $S$ に屬する數なり，此數の $n$ 倍 $a$