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九

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無理數

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は $b$ の倍數にして，$a$ より大なる者あり．隨て $b$ の倍數にして $a$ より大ならざる者は其數限りあり，故に其中一個最大の者存在す，之を $qb$ となさば

$qb\leqq a<(q+1)b$

隨て，

$a=qb+r,\quad b>r\geqq 0$

にして $a$，$b$ の與へられたるときは，$q$ 及び $r$ は一定す．

等分の可能を證せんが爲に，先づ次の事實を辨明せざるべからず．曰く，$a$ なる數（$a\neq 0$）と自然數 $n$ とを與ふるとき $a>nx$ なる如き數 $x$ は必ず存在す．此事實は連續の法則に關係なし．先づ此定理は $a$ が $2$ なる場合に成立す，げにも $a$ より小なる數の一つを $b$ となすに，$b$ よりも又 $a-b$ よりも小なる數必ずあり，其一つを $c$ とせば $b>c$，$a-b>c$ よりて $a>2c$．さて數學的歸納法を適用せんが爲に $n$ の場合より $n+1$ の場合に移らんに，先づ $a>nc$ なる數 $c$ の存在を假定し，$(n+1)c$ を作るとき $a\geqq (n+1)c$ なる場合