Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/347

このページは校正済みです
331
(二)
上下限の基本定理

の數にして.より小ならざる者存在す.第一の場合には に編入し,第二の場合には に投じ,以て凡ての數を の二群に分つことを得.斯くするときは如何なる數も 又は のいづれか唯一方に屬し,又 に屬せる數は,盡く に屬せる數よりも大なり.是故に連續の法則によりて, に最小の數あるか,又は に最大の數あるか,いづれか一ならざるを得ず.いづれにしても,卽ち の最小の數なりとするも,又は の最大の數なりとするも, の上限なり.之を證すること次の如し.

先つ の構成上, の諸數の盡く に包括せらるゝこと明白なり.若し に最大の數あらば,此數 は又 の最大の數なり。げにも に屬せるが故に, の數の中 より大なる者又は に等しき者必ずあるべし.さて實際 には より大なる數なし,何とならば若し の數にして より大なる者なりとせば, は又 に屬し,隨て の最大の數なるを得ざるべければなり.是故に の諸數の中に に等しき者なかるべからず,而も又