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（二）
上下限の基本定理
の數にして．より小ならざる者存在す．第一の場合には を に編入し，第二の場合には を に投じ，以て凡ての數を ， の二群に分つことを得．斯くするときは如何なる數も 又は のいづれか唯一方に屬し，又 に屬せる數は，盡く に屬せる數よりも大なり．是故に連續の法則によりて， に最小の數あるか，又は に最大の數あるか，いづれか一ならざるを得ず．いづれにしても，卽ち は の最小の數なりとするも，又は の最大の數なりとするも， は の上限なり．之を證すること次の如し．
先つ ， の構成上， の諸數の盡く に包括せらるゝこと明白なり．若し に最大の數あらば，此數 は又 の最大の數なり。げにも は に屬せるが故に， の數の中 より大なる者又は に等しき者必ずあるべし．さて實際 には より大なる數なし，何とならば若し を の數にして より大なる者なりとせば， は又 に屬し，隨て は の最大の數なるを得ざるべければなり．是故に の諸數の中に に等しき者なかるべからず，而も又 に
