Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/330

このページは校正済みです

八

314

量の連續性及無理數の起源

$A:B>A':B'$ ， $A:B>A'':B''$ と同時に $A':B'>A'':B''$ なりや，

$A:B<A':B'$ ， $A:B<A'':B''$ と同時に $A':B'<A'':B''$ なりや，

或は此最後の一問に代ふるに次のを以てすべし，

$A:B>A':B'$ と同時に $A':B'<A:B$ なりや，

例へば第二の問に答へんとするに，先づ $A:B>A':B'$ なりといふは $A:B>r>A':B'$ なる如き有理數 $r$ の存在するをいふに外ならず，又 $A':B'>A'':B''$ は $A':B'>r'>A'':B''$ なる如き有理數 $r'$ の存在を保證す．さて $r>A':B'$ ， $A':B'>r'$ より $r>r'$ を知り $A:B>r$ ， $r>r'$ より，第一定義によりて $A:B>r'$ を知る，之を $r'>A'':B''$ と倂せ考へて果して $A:B>A'':B''$ なるを確む．其他類推すべし．

斯の如くにして凡ての場合に於て二つの比の相等，大小を定むることを得たり．

$A$ ， $B$ が公約なき場合に於ける $A:B$ なる比の値は，卽ち吾輩のこれより說明