Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/325

309

（七）

比の相等及大小

---

${\frac {m}{n}}={\frac {m'}{n'}}$ なるとき $A:B={\frac {m}{n}}$ と同時に $A:B={\frac {m'}{n'}}$ なりや，

${\frac {m}{n}}>{\frac {m'}{n'}}$ なるとき $A:B>{\frac {m}{n}}$ と同時に $A:B>{\frac {m'}{n'}}$ なりや，

${\frac {m}{n}}<{\frac {m'}{n'}}$ なるとき $A:B<{\frac {m}{n}}$ と同時に $A:B<{\frac {m'}{n'}}$ なりや，

第一，${\frac {m}{n}}={\frac {m'}{n'}}$，$A:B={\frac {m}{n}}$ より $mn'=m'n$；$nA=mB$ を得，隨て $mn'(nA)=m'n(mB)$ 卽ち $mn(n'A)=mn(m'B)$ よりて $n'A=m'B$ 故に果して $A:B={\frac {m'}{n'}}$ 第二，第三類推すべし．

$A$，$B$ に公約あるときは，第一定義によりて $A:B$ は或有理數 $r$ に等しく，（三）に說ける意義に隨て $A=rB$．又若し $A$ が $B$ の有理區域に屬し $A=rB$ なる如き有理數 $r$ にして存在せば，第一定義に從ひて $A:B$ は此有理數 $r$ に等し．これ當然にして無奇なる事實なり．

然れどもユークリツドは旣に公約なき二つの量の存在するを知れり．$A$，$B$ に公約なきときは $A:B$ の比は如何．此場合にありては $m$，$n$ を如何なる自然數