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八

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量の連續性及無理數の起源

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することなきを推知すべし．

此結果は又次の如くにして之を說明することを得．先づ $E$ を一邊とせる平方形の對角線を $E'$ とせば，$E'$ を一邊とせる平方形の對角線は，$2E$ なること圖を一見して明瞭なり．假に $E'$ は $E$ の有理區域に屬せりとなし，例へば $E'=rE$ なりとせば，又 $2E=rE'$ ならざるを得ず．故に $2E=rrE$ 隨て

$2=rr$

を得．さて斯の如き有理數 $r$ の存在せざることは次の如くにして之を證明すべし．假に斯の如き有理數存在すとし，之を旣約分數となして ${\frac {p}{q}}$ を得たりとせば $p^{2}=2q^{2}$ 卽ち $2q^{2}$ は $p$ の倍數ならざるを得ず，而も $q$ 隨て又 $q^{2}$ は $p$ と素なるが故に $p$ は $2$ の約數卽ち $1$ 又は $2$ なり．さて $p$ は $1$ なることを得ざることは明なり．若し $p$ を $2$ なりとせば $2=q^{2}$ にして如何なる整數の平方も $2$ に等しきを得ず．是故に $p^{2}=2$ なる如き有理數 $r$ は存