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八

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量の連續性及無理數の起源

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是故に

$A_{1}>2A_{3},\quad A_{3}>2A_{5},\quad A_{5}>2A_{7},\quad \ldots A_{2h-1}>2A_{2h+1}$

隨て

(3)

$A_{1}>2^{h}A_{2h+1},\quad A_{2h+1}<{\frac {A_{1}}{2^{h}}}$

又同樣にして

(3)

$A_{2h+2}<{\frac {A_{2}}{2^{h}}}$

或は $A_{1}>A_{2}$ なるにより，$A_{2h+1}$ 及び $A_{2h+2}$ は共に ${\frac {A_{2}}{2^{h}}}$ より小なり．

是によりて $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\ldots$ は順次減少して，究まる所なし．$K$ を如何に小なる量なりとするも，$A_{n}$ は附數 $n$ の增大するとき，竟に $K$ よりも尙小となるべし．其故如何にといふに，先づ

(4)

$A_{2}<gK,\quad K>{\frac {A_{2}}{g}}$

なる如き自然數 $g$ はアルキメデスの法則によりて必ず存在す．さて，指數 $m$ を相當に採りて