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（五）

ユークリツドの法式

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$A_{h-2}=n_{h-2}A_{h-1}+A_{h}$

より

$A_{h-2}=(n_{h-2}n_{h-1}+1)A_{h}$

を得，$A_{h}$ の亦 $A_{h-2}$ の約量なるを知る，次第に斯の如く遡り行きて竟に $A_{h}$ は $\ldots A_{3},A_{2},A_{1}$ の約量なるを知る，$A_{h}$ は $A_{1}$，$A_{2}$ の公約量なり．

是故に $A_{1}$，$A_{2}$ には公約量あり，其一つを $D$ と名づくれば $D$ は亦 $A_{3}$ の約量，隨て又 $A_{1},A_{2}\ldots A_{h}$ の約量なり．$A_{h}$ は $A_{1}$，$A_{2}$ の公約量にして，$A_{1}$，$A_{2}$ の公約量は必ず $A_{h}$ の約量なり．是 $A_{h}$ が $A_{1}$，$A_{2}$ の最大公約量なるを示せるに非ずして何ぞや．

第二の場合は，ユークリツドの法式の決して終局に達することなき，是なり．

さて

$A_{k}=n_{k}A_{k+1}+A_{k+2},\qquad A_{k+1}>A_{k+2}$

にして，又 $A_{k}>A_{k+1}$ 隨て $n_{k}\geqq 1$，$n_{k}A_{k+1}>A_{k+2}$ なるにより

$A_{k}>2A_{k+2}$