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八

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量の連續性及無理數の起源

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$E$ なる量の與へられたる時，$r$ を正の有理數（自然數及び正の分數）となし $rE$ の如き量，卽ち $E$ より倍加及び等分によりて作り得べき量を總て一括し，假に之を有理區域と名づけ，此有理區域は $E$ なる量によりて定められたりと稱す．

$E$ の定むる有理區域に屬せる二個の量 $rE$，$r'E$ の和又は差は $(r\pm r')E$ にして，此量は又同一の有理區域に屬せり．又 $n$ を自然數とせば ${\frac {rE}{n}}={\frac {r}{n}}E$ 卽ち或有理區域に屬せる量に加合（及び倍加）等分を施こせる結果は亦同一の有理區域に屬せる量なり．

$E$ の定むる有理區域に屬せる量の一つを $E'$ と名づけ $E'=c'E$ と置く，$c'$ は自然數又は正の分數なり．さて一般に $r$ を以て正の有理數を表はすときは（三）によりて

$rE'=rc'E,\qquad rE={\frac {r}{c'}}E'$

にして ${\frac {r}{c'}}$ は勿論正の有理數なるが故に $E$ の有理區域に屬せる量は必ず亦