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（三）

正負整數の乘法

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を正數なりとするも結果は一樣なるが故に，例へば $\alpha =a$ は正 $\beta =-b$ は負にして，先づ $a>b$，$a=b+d$ となすときは，上の等式の左邊は $d\gamma$ に，又其右邊は $a\gamma -b\gamma$ に等しくして此等式は成立す．次に又 $\alpha =a$，$\beta =-b$，$a<b$，$a+d'=b$ と置かば，上の等式は $-d'\gamma =a\gamma -b\gamma$ となりて直に明了なり．分配の法則の凡ての場合に成立するを知るべし．

最後に尙乘法及び其轉倒の結果の唯一なるべきを證明せざるべからず．先づ $\alpha =\alpha '$，$\beta =\beta '$ より $\alpha \beta =\alpha '\beta '$ を得んと欲せば，次の如く考ふべし．$\alpha =\alpha '$ より $\alpha -\alpha '=0$，$(\alpha -\alpha ')\beta =0\cdot \beta =0$ 卽ち $\alpha \beta -\alpha '\beta =0$，$\alpha \beta =\alpha '\beta$．又 $\beta =\beta '$，$\beta -\beta '=0$，$\alpha '(\beta -\beta ')=0$，$\alpha '\beta =\alpha '\beta '$ よりて $\alpha \beta =\alpha '\beta '$．

次に $\alpha \beta =\gamma$，$\alpha \beta '=\gamma$ より $\beta =\beta '$ を得んとするに，先づ $\alpha \beta -\alpha \beta '=\gamma -\gamma =0$ 卽ち $\alpha (\beta -\beta ')=0$．是故に $\alpha$ 及び $\beta -\beta '$ の中少くともいづか一方は $0$ に等しからざるを得ず．よりて $\alpha$ が $0$ ならざるときは $\beta -\beta '=0$ 卽ち $\beta =\beta '$．$\alpha$ が $0$ なるときは，$\beta =\beta '$ なるを必せず，乘法の轉倒の唯一なるべしといへ