右邊に立てる數の μ {\displaystyle \mu } に等しきことは a ∘ b ′ ∘ a ′ ∘ b = a ′ ∘ b ∘ b ′ ∘ a {\displaystyle a\circ b'\circ a'\circ b=a'\circ b\circ b'\circ a} なる明白なる等式の明示する所なり．又逆に μ ∗ μ ′ = c ∗ d {\displaystyle \mu *\mu '=c*d} と置かば μ ′ ∘ ( c ∗ d ) = μ {\displaystyle \mu '\circ (c*d)=\mu } より
を得，これより五によりて a ′ ∘ c ∘ b = a ∘ b ′ ∘ d {\displaystyle a'\circ c\circ b=a\circ b'\circ d} 又は ( a ′ ∘ b ) ∘ c = ( a ∘ b ′ ) ∘ d {\displaystyle (a'\circ b)\circ c=(a\circ b')\circ d} を得， c ∗ d {\displaystyle c*d} は上に揭げたる μ ∗ μ {\displaystyle \mu *\mu } の式に外ならざるを確むべし．
以上の觀察により本來の數の外尙 a ∗ b {\displaystyle a*b} の如き新らしき數を作り，其相等及合の算法の意義を五，六によりて定むるときは，數の新範圍に於て一乃至四の原則は依然成立し且，離の算法は凡ての場合に可能なるべきを知り得たり．
α {\displaystyle \alpha } を任意の一數となすときは八によりて
なる條件を充實すべき數 ε {\displaystyle \varepsilon } 必存在す，さて β {\displaystyle \beta } を如何なる數となすとも
に等しきことは 
なる明白なる等式の明示する所なり．又逆に 
と置かば 
より
又は 
を得，
は上に揭げたる 
の式に外ならざるを確むべし．
の如き新らしき數を作り，其相等及合の算法の意義を五，六によりて定むるときは，數の新範圍に於て一乃至四の原則は依然成立し且，離の算法は凡ての場合に可能なるべきを知り得たり．
を任意の一數となすときは八によりて
必存在す，さて 
を如何なる數となすとも
