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六

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分數に關する整數論的の硏究

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乘法を說くに當り，先づ $\gamma$，$\gamma '$ 共に有限の小數なる場合より始めん．

${\begin{aligned}\gamma &=\cdots c_{h+1}c_{h}\\\gamma '&=\cdots c_{k+1}'c_{k}'\end{aligned}}$

の積を計算するには $\gamma \cdot 10^{-h}=C$，$\gamma '\cdot 10^{-k}=C'$ なる整數の積を求めて後之を $10^{-h-k}$ にて除すべし．$\gamma$，$\gamma '$ に於ける小數部分の位數 $h$，$k$ にして，積のは $h+k$ なり．$\gamma$ が循環小數にして $\gamma '$ が有限の小數なるときは，$\gamma$ の循環週期は $c$ 位より成り $t^{k}$ の位より始まるとなし，$A$，$C$ をば例の如き意義に用ゐて

$\gamma =\left\{A+{\frac {C}{t^{c}-1}}\right\}t^{k+1}$

とし，又

$\gamma '=A'\cdot t^{h}$

と置く．さて

$\gamma \gamma '=\left\{AA'+{\frac {A'C}{t^{c}-1}}\right\}t^{h+k+1}$

若し $A'C\leqq t^{c}-1$ ならば，$A'$，$C$ は直に $\gamma \gamma '$ の週期を與へ，循環は $t^{h+k}$ の位に始まり，週期は $c$ 位より成る．$AA'$ は循環せざる部分の數字を與ふ．然れども若 $A'C$