Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/240

六

224

分數に關する整數論的の硏究

---

ず其起源を分數に有するや，否やを．

${\frac {a}{b}}$ なる分數の展開が $c_{1},c_{2}\ldots c_{c}$ なる係數の週期を與へたりとせば

${\frac {a}{b}}={\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{c}}{t^{c}}}+{\frac {a}{bt^{c}}}$

なり．よりて

$a(t^{c}-1)=C\cdot b$

但

$C=(c_{1}c_{2}\cdots c_{c})=c_{1}t^{c-1}+c_{2}t^{c-2}+\cdots +c_{c}$

卽ち

${\frac {a}{b}}={\frac {C}{t^{c}-1}}$

是故に上文の疑問を解決せんと欲せば，豫め $c_{1},c_{2},\ldots c_{n}$ なる係數の週期を定め，さて $C$ を上に書きたる如き整數となすとき

${\frac {C}{t^{c}-1}}$

なる分數の展開が果して豫定の週期を有すべきや否やを確むれば則ち足る．

先づ

${\frac {1}{t^{c}-1}}-{\frac {1}{t^{c}}}={\frac {1}{(t^{c}-1)t^{c}}}$