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（八）

循環小數の起源

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$b=13$，$10^{6}-1=13\times 76923.\quad c=6$

${\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}},\qquad {\frac {2}{13}}=0.{\overline {153846}},\ \ldots$

$b=37$，$10^{3}-1=37\times 27.\quad c=3$

${\frac {1}{37}}=0.{\overline {027}},\qquad {\frac {2}{37}}=0.{\overline {054}},\ \ldots$

こゝに橫線は循環の週期を示せり．

分母が $t$ と相素ならざる場合に於ては指數 $l$ を適當に定めて

$\alpha t^{l}={\frac {a}{b}}$

の分母を $t$ と相素なるものとなし，而して後 ${\frac {a}{b}}$ を展開すべし．$\alpha$ の展開は ${\frac {a}{b}}$ の展開に於ける諸項を更に $t^{l}$ にて除して之を得べし．此場合には循環は $t^{-(l+1)}$ の項に始まる，週期を組成せる項の數は前の場合に同じ．

例．

${\frac {1}{12}}\times 10^{2}={\frac {23}{3}}=8.333\cdots$