注意すべし．若し倒に (3) の關係成立せりとなさば卽ち或指數 c {\displaystyle c} につきて t c − 1 {\displaystyle t^{c}-1} が b {\displaystyle b} の倍數なりとせば， h {\displaystyle h} を如何なる自然數となすとも (2) より
卽ち
を得，さて t c − 1 {\displaystyle t^{c}-1} は b {\displaystyle b} の倍數なりといふが故に a h = a h + c {\displaystyle a_{h}=a_{h+c}} も亦然り，而も a h {\displaystyle a_{h}} ， a h + c {\displaystyle a_{h+c}} は共に b {\displaystyle b} より小なる正數なるが故に a h − a h + c {\displaystyle a_{h}-a_{h+c}} は絕對値に於て b {\displaystyle b} より小なる整數なり，此整數が b {\displaystyle b} の倍數なりといふは，其 0 {\displaystyle 0} なるべきを意味するが故に
卽ち (2) にして成立せば， h {\displaystyle h} に關係なく a h {\displaystyle a_{h}} と a h + c {\displaystyle a_{h+c}} と相等しからざるを得ず，卽ち
a 1 , a 2 , a 3 … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots } 等逐次の剩餘の中には同一の數必ず現出すべしとの簡單なる事實
につきて 
が 
の倍數なりとせば，
を如何なる自然數となすとも (2) より
は の倍數なりといふが故に 
も亦然り，而も 
，
は共に より小なる正數なるが故に 
は絕對値に於て より小なる整數なり，此整數が の倍數なりといふは，其 
なるべきを意味するが故に
に關係なく と と相等しからざるを得ず，卽ち
等逐次の剩餘の中には同一の數必ず現出すべしとの簡單なる事實
