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（八）

循環小數の起源

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きたり．是故に $b$ 若 $t$ に含まれざる素數因子を有せば $\alpha$ の展開に於て剩項 の $0$ となることなし，此場合に於ては展開の係數は竟に一定の週期を以て循環するに至るべし．

分母 $b$ が $t$ に含まれざる素數因子を有するときは，$b$ を素數冪に分解し，其中 $t$ に含まるゝ素數に屬するものと，然らざるものとを別々に集めて $b=b_{0}b'$ となさば，$b_{0}$ の素數因子は盡く $t$ に含まれ，$b'$ は $t$ と相素なり．しかするときは $b_{0}b'$ は相素にして，指數 $l$ を適當にとるとき $b_{0}$ は $t^{l}$ の約數となる．さて $\alpha$ に $t^{l}$ を乘ずれば

$\alpha t^{l}={\frac {at^{l}}{b_{0}b'}}={\frac {a'}{b'}}$

を得，$a'$ は $a\times (t^{l}:b_{0})$ なる整數にして $b'$ と相素なり．$b$ 若 $t$ の素數因子を含まずば $b_{0}$ を $1$，$l$ を $0$ となすべく，隨て $b'=b$ なり．

$\alpha$ の展開は之を $\alpha t^{l}$ の展開に歸着せしめ得べきが故に，吾輩は始めより

$\alpha ={\frac {a}{b}}$