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六

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分數に關する整數論的の硏究

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今之を證明せんが爲に $1$ より $n$ に至る整數の中 $n$ と相素なる $\nu =\varphi (n)$ 個を

$a_{1},a_{2},\ldots a_{\nu }$

と名づけ，さて此等の數に順次 $n$ の倍數を加へて次の表を作る，

${\begin{array}{llll}a_{1}&a_{2},&\ldots &a_{\nu },\\a_{1}+n,&a_{2}+n,&\ldots &a_{\nu }+n,\\a_{1}+2n,&a_{2}+2n,&\ldots &a_{\nu }+2n,\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{1}+(p-1)n,&a_{2}+(p-1)n,&\ldots &a_{\nu }+(p-1)n.\end{array}}$

先づ第一の場合より始めん，こゝに列記せる $p\nu$ 個の數は皆 $pn$ より小にして，いづれも $pn$ と相素なり．實にも此等の數の一つ例へば $a_{h}+kn$ と $pn$ とを觀るに，若し兩者に公約數あらば，其素數因子の一つを $q$ と名づけんに，$q$ は $p$ に等しきも又は然らざるも，必ず $n$ の約數ならざるを得ず，よりて $q$ が $a_{h}+kn$ の約數ならん爲には，$q$ は $a_{h}$ の約數隨て $a_{h}$ 及び $n$ の公約數なるを要