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（五）

$\varphi (n)$ の算式

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此結果は之を因子二個以上場合に擴張することを得，$a,b,c\ldots$ が二つづゝ相素なる整數なるときは，先づ $a$ と $bc\cdots$ は相素なるが故に

$\varphi (a\cdot ab\cdots )=\varphi (a)\cdot \varphi (bc\cdots )$

同じ樣にして $\varphi (bc\cdots )=\varphi (b)\varphi (c\cdots )$，$\varphi (c\cdots )=\varphi (c)\cdots$ を得，竟に

(4*)

$\varphi (a\cdot b\cdot c\cdots )=\varphi (a)\varphi (b)\varphi (c)\cdots$

に達す．今を $n$ を素數羃に分解して

$n=p^{\pi }q^{\chi }r^{\rho }\cdots$

を得たりとせば

(5)

$\varphi (n)=\varphi (p^{\pi })\varphi (q^{\chi })\varphi (r^{\rho })\cdots$

例へば $n=15=3\cdot 5$

${\frac {1}{15}}={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{5}}-1,\qquad {\frac {8}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}},$

${\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {4}{5}}-1,\qquad {\frac {11}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}},$