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六

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分數に關する整數論的の硏究

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となす．こゝに係數 $\pi _{1},\pi _{2}\ldots \pi _{\alpha }$，$\chi _{1},\chi _{2}\ldots \chi _{\beta }$ 等はそれぞれ $p$，$q$ 等より小なる正の整數なるべきこと勿論なり．之を (4) に收用して

(4*)

${\begin{aligned}{\frac {m}{n}}&={\frac {\pi _{1}}{p}}+{\frac {\pi _{2}}{p^{2}}}+\cdots {\frac {\pi _{\alpha }}{p^{\alpha }}}\\&+{\frac {\chi _{1}}{q}}+{\frac {\chi _{2}}{q^{2}}}+\cdots {\frac {\chi _{\beta }}{q^{\beta }}}\\&+\cdots \pm g\end{aligned}}$

を獲．

此處になほ次節に引用すべき一の事實を附記すべし．${\frac {m}{n}}$ が旣約分數なるときは (1)，(2)，(3)，(4) 等の右邊に現はれたる分數は，いづれも亦旣約分數なるべきこと明白なり．又逆に $a,b,c\ldots$ が二つづゝ相素なるときは

${\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}+{\frac {c'}{c}}+\cdots \pm g$

の如き和は，${\frac {a'}{a}},{\frac {b'}{b}},{\frac {c'}{c}}\ldots$ が盡く旣約分數なるときは，$abc\cdots$ を分母とせる或旣約分數に等し．隨て斯の如き和が一の整數となり得べきは ${\frac {a'}{a}},{\frac {b'}{b}},{\frac {c'}{c}}\ldots$