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六

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分數に關する整數論的の硏究

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及び $15$ なる分數の和に分解せんが爲に

$1=15x+4y$

を解けば

$x=-1+4t,\quad y=4-15t$

を得，$t$ を $0,1,-1\ldots$ となして

$\left.{\begin{array}{l}x=-1\\y=4\end{array}}\right\}\quad \left.{\begin{array}{l}x=3\\y=-11\end{array}}\right\}\quad \left.{\begin{array}{l}x=-5\\y=19\end{array}}\right\}\cdots$

を得，隨て

${\frac {1}{60}}={\frac {-1}{4}}+{\frac {4}{15}}={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{15}}={\frac {-5}{4}}+{\frac {19}{15}}=\cdots$

若し $4$ を分母とせる分數が正にして $1$ より小なるべきを要せば第二の分解を採るべし，又 $15$ を分母とせる分數が正にして $1$ より小なるべきを欲せば第一の分解を採るべし．此時同時に他の一分數にも或條件を充實せしめんとするは，卽ち例へば其正なること又は $1$ より小なることを望むは過當の要求な