此處に用ゐたる論法の根據は加法の組み合はせの法則, m {\displaystyle m} に代ふるに m + n {\displaystyle m+n} 又 n {\displaystyle n} に代ふるに ± 1 {\displaystyle \pm 1} を以てせる (5), n {\displaystyle n} の場合の (5),乘法の組み合はせの法則, m {\displaystyle m} に代ふるに n {\displaystyle n} , n {\displaystyle n} に代ふるに ± 1 {\displaystyle \pm 1} を以てせる (5) にして最後に到着せるは卽ち n ± 1 {\displaystyle n\pm 1} の場合の (5) なり.數學的歸納法の兩段完成せり.
m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} 兩ながら正にはあらざる場合に (6) を證明せんに,先づ m {\displaystyle m} 又は n {\displaystyle n} の中少くとも一つが 0 {\displaystyle 0} なる場合は兩邊共に 1 {\displaystyle 1} となりて落着す.さて m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} を自然數とし
によりて凡ての場合を落着せしむ.
基數 1 {\displaystyle 1} なるときは冪は指數に關係なく常に 1 {\displaystyle 1} なり.基數正數ならば冪は恆に