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（三）

稠密なる分布

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るべし，姑らく此事成立せりとなさんに $\mu$ は亦 $\alpha$ と異なるが故に，$\alpha$，$\mu$ の中間に $\alpha >\mu '>\mu$ なる分數 $\mu '$，又 $\alpha$，$\mu '$ の中間に $\alpha >\mu ''>\mu '$ なる分數 $\mu ''$ 存在し，$\mu$，$\mu '$，$\mu ''$ はいづれも $\alpha$，$\beta$ の中間に橫はるが故に，斯の如くにして，相異なる二つの分數の中間には限りなく多くの分數を容るを知るべし．分數の分布各處稠密なりといへるは此意なり．

$\alpha$，$\beta$ が相異なる分數にして $\alpha >\beta$ ならば，$\alpha$，$\beta$ を同分母の分數となして

$\alpha ={\frac {a}{m}},\quad \beta ={\frac {b}{m}}$

と置くとき $a>b$ にして $a$，$b$ は整數なるが故に $a$，$b$ の差は少くとも $1$ に等し．$a$，$b$ の差 $1$ より大ならば，$a$，$b$ の中間に橫はれる整數あり，其一つを $c$ と名づけ，$\mu ={\frac {c}{m}}$ を採らば $\alpha >\mu >\beta$ 又若 $a$，$b$ の差 $1$ に等しからば $h$ を $1$ より大なる自然數となし

$\alpha ={\frac {ah}{mh}},\quad \beta ={\frac {bh}{mh}}$