の剩餘は皆相異にして，而も盡く a {\displaystyle a} 卽ち h g {\displaystyle hg} より小なりと言ふ上は，此等の剩個餘は其全體に於て g , 2 g , … ( h − 1 ) g {\displaystyle g,2g,\ldots (h-1)g} なる數と同一ならざるを得ず，卽ち其中一つ而も唯一つが g {\displaystyle g} に等しきなり．さて例へば
なりとせば h ′ < h {\displaystyle h'<h} 隨て k ′ < k {\displaystyle k'<k} にして定理一は再び證明せられたり． a {\displaystyle a} ， b {\displaystyle b} を轉倒するも亦同樣の結果に達し得べきこと勿論なり．或は又 − k ′ {\displaystyle -k'} を k {\displaystyle k} を以て除して得べき最小正剩餘を k ″ {\displaystyle k''} と名づけ，卽ち − k ′ = − k + k ″ , k > k ″ > 0 {\displaystyle -k'=-k+k'',\ k>k''>0} と なすときは
にして， h ″ = h − h ′ {\displaystyle h''=h-h'} は h {\displaystyle h} より小なる正數なり．
上の定理を特に g = 1 {\displaystyle g=1} の場合につきて繰り返すときは次の事實を得．
三， a {\displaystyle a} ， b {\displaystyle b} が相素なる數なるときは
卽ち 
より小なりと言ふ上は，此等の剩個餘は其全體に於て 
なる數と同一ならざるを得ず，卽ち其中一つ而も唯一つが 
に等しきなり．さて例へば
隨て 
にして定理一は再び證明せられたり．，
を轉倒するも亦同樣の結果に達し得べきこと勿論なり．或は又 
を 
を以て除して得べき最小正剩餘を 
と名づけ，卽ち 
と
なすときは
は 
より小なる正數なり．
の場合につきて繰り返すときは次の事實を得．
， が相素なる數なるときは
