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四

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整除に關する整數の性質

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合に限れり．整除といふ事が整數論に於て甚だ重要なる位置を占むること，誠に故ありと謂ふべし．

$a$ が $d$ にて整除せらるゝときは $a$ を $d$ の倍數 $d$ を $a$ の約數と云ふ．

二，$a$，$a'$ 共に $d$ の倍數なるときは $a$，$a'$ の和及差は共に $d$ の倍數なり．

證，$a$ は $d$ の倍數又 $a'$ は $d$ の倍數なるが故に，$a=qd$，$a'=q'd$ なる如き整數 $q$，$q'$ は存在す．さて $a\pm a'=(q\pm q')d$ にして $q\pm q'$ は亦整數なるが故に $a\pm a'$ は $d$ の倍數なり．此定理は又 $d$ の倍數二個以上の場合にも適用せられ得べし．

三，$a$ は $b$ の倍數，$b$ は $d$ の倍數ならば，$a$ は又 $d$ の倍數なり．

證，$a=a'b$，$b=b'd$ なる如き，整數 $a'$，$b'$ 存在するにより $a=a'\cdot (b'd)$ 卽ち $a=(a'b')d$ 而して $a'b'$ は整數なるが故に $a$ は $d$ の倍數なり．

一般に $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots a_{n}$ 等の整數ありて各の $a$ は其次の $a$ の倍數なるときは，最初の $a_{1}$ は最後の $a_{n}$ の倍數なり．