「初等整数論講義/第1章/附記 循環小数」の版間の差分

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rv
削除が決定したわけではないのに作業が先行している。取り消し実施
1行目:
==附記.循環小数==
<!-- 削除についての議論が終了するまで、下記部分は除去しないで下さい。 -->
 
<dl style="font-size:smaller;border:solid #999 1px;width:75%;background:#eff;padding:1ex 1em;margin:0 auto 1em;">
既約なる真分数 <math>\frac{m}{n}</math> に於いて,分母 <math>n</math> が <math>2</math>
<dt style="text-align:center;font-size:130%">'''削除提案中'''</dt>
および <math>5</math> で割り切れないとき,
<dd style="float:left;width:50px;margin:0;padding-bottom:10px">[[Image:Icono_aviso_borrar.png|50px|]]</dd>
即ち <math>(10, n)=1</math> なるとき,<math>n</math> を法として,<math>10</math> が
<dd style="margin:0 0 0 60px"><p>現在、この項目の一部の版または全体について、[[Wikisource:削除の方針|削除の手続き]]に従って、削除が提案されています。</p>
指数 <math>e</math> に対応するとする.然らば
<p>削除についての議論は[[Wikisource:削除依頼#{{#if:高木貞治氏の著書|高木貞治氏の著書|{{FULLPAGENAME}} - ノート}}|削除依頼の該当のセクション]]で行われています([[{{TALKPAGENAME}}|このページのノート]]も参照して下さい)。削除の議論中はこのお知らせを'''除去しないで'''下さい。</p>
 
</dd>
{{初等整数論講義/equation
<dd style="margin:0;clear:left">'''この項目の執筆者の方々へ''': まだ削除は行われていません。削除に対する議論に参加し、[[Wikisource:削除の方針|削除の方針]]に該当するかをどうか検討して下さい。</dd>
|<math>
</dl>__NOINDEX__ [[Category:削除依頼中の記事]]
10^e \equiv 1 \pmod{n}
<!-- 削除についての議論が終了するまで、上記部分は除去しないで下さい。 -->{{copyrights}}[[カテゴリ:初等整数論講義]]
</math> .
}}
{{初等整数論講義/equation
|<math>
10^e - 1 = n \cdot a
</math> .
}}
と置けば,
{{初等整数論講義/equation
|<math>
\frac{m}{n} = \frac{ma}{na} = \frac{ma}{10^e - 1}
= \frac{ma}{10^e} + \frac{ma}{10^{2e}} + \frac{ma}{10^{3e}} + \cdots\cdots\cdots
</math><ref><math>a + ar + ar^2 + \cdots = a(1 + r + r^2 + \cdots)
= \frac{a}{1 - r}</math></ref> .
}}
仮定に由って <math>0 < m < n</math>,従って <math>ma < na < 10^e</math>.
故に <math>\frac{m}{n}</math> は <math>e</math> 桁の周期<ref>原文は「週期」</ref> を有する
循環小数に展開される.
逆に <math>\frac{m}{n}</math> が <math>e</math> 桁の周期を以って循環する小数に等しいならば,
{{初等整数論講義/equation|<math>
\frac{m}{n} = \frac{c}{10^e} + \frac{c}{10^{2e}} + \cdots\cdots = \frac{c}{10^e - 1}
</math> ,
}}
従って <math>10^e - 1 = na, (c = ma)</math> である.
故に
{{初等整数論講義/theorem|}}
<math>\frac{m}{n}</math> は循環小数に展開せられ,循環の一節の数字を <math>e</math> 桁とすれば,
<math>e</math> は <math>10^e \equiv 1 \pmod{n} </math> なる最小正指数である.
<math>e</math> は <math>\varphi(n)</math> の約数で,それは分母 <math>n</math> のみに由って定まる.
{{初等整数論講義/theorem-end}}
 
{{初等整数論講義/note}}
<math>n = p^\alpha q^\beta \ldots\ldots</math> を <math>n</math> の素数冪への分解とし,
<math>p^\alpha, q^\beta, \ldots\ldots</math> を法として <math>10</math> に対応する
指数を <math>e_1, e_2, \ldots\ldots</math> とすれば,<math>n</math> を法としての
指数 <math>e</math> は <math>e_1, e_2, \ldots\ldots</math> の最小公倍数に等しい.
{{初等整数論講義/note-end}}
 
次に <math>(10, n) \ne 1</math> のとき,<math>n = 2^{u}5^{v}n', Max(u, v)=k</math> とし,
<math>\frac{10^km}{n}</math> を既約分数に化して <math>\frac{m'}{n'}</math> を得るとする.
然らば <math>(10, n')=1 </math>,従って <math>n'</math> を法として <math>10</math> に
対応する指数を <math>e</math> とすれば,<math>\frac{m'}{n'}</math> は <math>e</math> 桁の
周期を有する循環小数に等しい.<math>\frac{m}{n}</math> も同様であるが,循環が小数
第 <math> k + 1 </math> 位から始まる.
 
<math>n' = 1</math> ならば <math>\frac{m}{n}</math> は有限小数に等しい
 
 
{{初等整数論講義/example|1}}
<math>n = 7</math> とすれば,<math>10</math> は指数 <math>6</math> に対応する.
(即ち <math>10</math> は素数 <math>7</math> の原始根である.[[初等整数論講義/第1章/原始根,指数|§11]].)
故に <math>7</math> を分母とする既約分数は分子の如何に拘らず,<math>6</math> 位の周期を有する
循環小数に展開される.
 
{{初等整数論講義/equation|
<math>
\begin{align}
\frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7} & & \frac{6}{7} = 0.\dot{8}5714\dot{2} \\
\frac{3}{7} = 0.\dot{4}2857\dot{1} & & \frac{4}{7} = 0.\dot{5}7142\dot{8} \\
\frac{2}{7} = 0.\dot{2}8571\dot{4} & & \frac{5}{7} = 0.\dot{7}1428\dot{5} \\
 
\end{align}
</math>}}
 
{{初等整数論講義/note}}
上記の循環節は <math>142857</math> の <math>1, 3, 2, 6, 4, 5</math> 倍であるが,それらは
<math>142857</math> なる六つの数字の循環置換に由って得られるものである.
 
循環節を折半して加え合わせると <math>999</math> になる.<math>142 + 857 = 999</math> 等.
 
ここでは <math>e = 6</math> だから,<math>10^3 \equiv -1 \pmod{7}</math>.
故に上記の割り算で第三段の剰余が <math>6 \equiv -1 \pmod{7}</math> である.
<math>\frac{1}{7}</math> と <math>\frac{6}{7}</math> との和が <math>1</math> であるから
上記のような現象が生ずる.
 
多くの読者はこのような数字の遊戯に興味を感ずるであろうと信ずる.
 
{{初等整数論講義/note-end}}
 
{{初等整数論講義/example-end}}
 
 
{{初等整数論講義/example|2}}
分母を <math>13</math> とする.
割り算から <math>10^6 \equiv 1 \pmod{13}, e = 6</math>.
故に分母 <math>13</math> なる既約分数は <math>6</math> 位の循環節を有する小数に展開される.
 
割り算から見えるように
 
{{初等整数論講義/equation|
<math>10 \equiv 10,\ 10^2 \equiv 9,\ 10^3 \equiv 12,\ 10^4 \equiv 3,\
10^5 \equiv 4,\ 10^6 \equiv 1\ \pmod{13}</math>.}}
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{1}{13} = 0.\dot{0}7692\dot{3}, \frac{10}{13} = 0.\dot{7}6923\dot{0}, \frac{9}{13} = 0.\dot{6}9230\dot{7}</math>
}}
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{12}{13} = 0.\dot{9}2307\dot{6}, \frac{3}{13} = 0.\dot{2}3076\dot{9}, \frac{4}{13} = 0.\dot{3}0769\dot{2}</math>
}}
 
この場合にも第三段で剰余 <math>12</math> (<math>\equiv -1 \pmod{13}</math>)が出た所で
割り算を止めても宜かったのである.
あと三つの剰余は <math>-10 \equiv 3, -9 \equiv 4, -12 \equiv 1 \pmod{13}</math> で,
商の数字は <math>999 - 76 = 923</math> である.
 
この中にない分子,例えば <math>2</math> を取れば
{{初等整数論講義/equation|
<math>2 \cdot 10 \equiv 7,\ 2 \cdot 10^2 \equiv 18 \equiv 5,\ 2 \cdot 10^3 \equiv 24 \equiv 11,\
2 \cdot 10^4 \equiv 6,\ 2 \cdot 10^5 \equiv 8 \pmod{13}</math>.
}}
由って
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{2}{13} = 0.\dot{1}5384\dot{6}, \frac{7}{13} = 0.\dot{5}3846\dot{1}, \frac{5}{13} = 0.\dot{3}8461\dot{5}</math>
}}
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{11}{13} = 0.\dot{8}4615\dot{3}, \frac{6}{13} = 0.\dot{4}6153\dot{8}, \frac{8}{13} = 0.\dot{6}1538\dot{4}</math>
}}
 
<math>\frac{2}{13}</math> の循環節 <math>153846</math> は
<math>76923 \times 2</math>,その他は循環置換に由って得られる.
{{初等整数論講義/example-end}}
 
 
 
{{初等整数論講義/note}}
{{初等整数論講義/example|3}}
例1, 例2 に由れば <math>91 = 7\cdot13</math> を法としても <math>10</math> は指数 <math>6</math> に対応する.
故に <math>91</math> を分母とする既約分数は,6 位の循環節を有する小数に展開される.
 
<math>\frac{1}{91} = 0.\dot{0}1098\dot{9}, </math>
 
<math>\frac{10}{91} = 0.\dot{1}0989\dot{0},</math>
 
<math>\frac{9}{91} = 0.\dot{0}9890\dot{1},</math>
 
<math>\frac{90}{91} = 0.\dot{9}8901\dot{0},</math>
 
<math>\frac{81}{91} = 0.\dot{8}9010\dot{9},</math>
 
<math>\frac{82}{91} = 0.\dot{9}0109\dot{8},</math>
 
{| class="wikitable"
! !!分子 !! 循環節
|-
| 1)
| <math>1, 10, 9, 90, 81, 82</math>
| <math>010989</math>
|-
| 2)
| <math>2, 20, 18, 89, 71, 73</math>
| <math>021978</math>
|-
| 3)
| <math>3, 30, 27, 88, 61, 64</math>
| <math>032967</math>
|-
| 4)
| <math>4, 40, 36, 87, 51, 55</math>
| <math>043956</math>
|-
| 5)
| <math>5, 50, 45, 86, 41, 46</math>
| <math>054945</math>
|-
| 6)
| <math>6, 60, 54, 85, 31, 37</math>
| <math>065934</math>
|-
| 7)
| <math>7, 70, 63, 84, 21, 28</math>
| <math>076923</math>
|-
| 8)
| <math>8, 80, 72, 83, 11, 19</math>
| <math>087912</math>
|-
| 9)
| <math>12, 29, 17, 79, 62, 74</math>
| <math>131868</math>
|-
| 10)
| <math>15, 59, 44, 76, 32, 47</math>
| <math>164835</math>
|-
| 11)
| <math>16, 69, 53, 75, 22, 38</math>
| <math>175824</math>
|-
| 12)
| <math>23, 48, 25, 68, 43, 66</math>
| <math>252747</math>
|}
 
<math>91</math> を分母とする既約真分数 <math>\varphi(91) = \varphi(7)\varphi(13) = 72</math> 個が
6 つずつ 12 群に分かれ,各群に属する 6 つの既約真分数の小数への展開に於ける循環の一節は同一の
6 つの数字の循環置換である.
 
表の説明.1) の意味は明白であろう.2) に掲げた分子は 1) の数の <math>2</math> 倍を <math>91</math> で割った剰余で,
循環節の欄に掲げた <math>021978</math> は 1) の所の <math>010989</math> に 2) の左端の <math>2</math> を
掛けたものである.その他の行も同様である.例えば 12) は 1) の各数の <math>23</math> 倍を <math>91</math> で
割った剰余 <math>10 \times 23 \equiv 48, 9 \times 23 \equiv 25</math> 等々で,
循環節は <math>252747 = 10989 \times 23</math>.この数字を一桁ずつ循環的にずらして
 
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{48}{91} = 0.\dot{5}2747\dot{2}, \frac{25}{91} = 0.\dot{2}7472\dot{5}</math>
}}
 
どの行でも始めの三つの分子を <math>91</math> から引いた残りが後の三つ分子である.
(<math>e</math> が偶数のとき,いつでも同様.)
 
 
{{初等整数論講義/example-end}}
{{初等整数論講義/note-end}}