「初等整数論講義/第1章/附記 循環小数」の版間の差分

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循環節を折半して加え合わせると <math>999</math> になる.<math>142 + 857 = 999</math> 等.
 
ここでは <math>e = 6</math> だから,<math>10^3 \equiv -1(\mod \pmod{7)}</math>.
故に上記の割り算で第三段の剰余が <math>6 \equiv -1(\mod \pmod{7)}</math> である.
<math>\frac{1}{7}</math> と <math>\frac{6}{7}</math> との和が <math>1</math> であるから
上記のような現象が生ずる.
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分母を <math>13</math> とする.
割り算から <math>10^6 \equiv 1(\mod \pmod{13)}, e = 6</math>.
故に分母 <math>13</math> なる既約分数は <math>6</math> 位の循環節を有する小数に展開される.
 
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{{初等整数論講義/equation|
<math>10 \equiv 10,\ 10^2 \equiv 9,\ 10^3 \equiv 12,\ 10^4 \equiv 3,\
10^5 \equiv 4,\ 10^6 \equiv 1(\mod \pmod{13)}</math>.}}
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{1}{13} = 0.\dot{0}7692\dot{3}, \frac{10}{13} = 0.\dot{7}6923\dot{0}, \frac{9}{13} = 0.\dot{6}9230\dot{7}</math>
}}
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{12}{13} = 0.\dot{9}2307\dot{6}, \frac{3}{13} = 0.\dot{2}3076\dot{9}, \frac{4}{13} = 0.\dot{3}0769\dot{2}</math>
}}
 
この場合にも第三段で剰余 <math>12</math> (<math>\equiv -1 \pmod{13}</math>)が出た所で
割り算を止めても宜かったのである.
あと三つの剰余は <math>-10 \equiv 3, -9 \equiv 4, -12 \equiv 1 \pmod{13}</math> で,
商の数字は <math>999 - 76 = 923</math> である.
 
この中にない分子,例えば <math>2</math> を取れば
{{初等整数論講義/equation|
<math>2 \cdot 10 \equiv 7,\ 2 \cdot 10^2 \equiv 18 \equiv 5,\ 2 \cdot 10^3 \equiv 24 \equiv 11,\
2 \cdot 10^4 \equiv 6,\ 2 \cdot 10^5 \equiv 8 \pmod{13}</math>.
}}
由って
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{2}{13} = 0.\dot{1}5384\dot{6}, \frac{7}{13} = 0.\dot{5}3846\dot{1}, \frac{5}{13} = 0.\dot{3}8461\dot{5}</math>
}}
{{初等整数論講義/equation|
<math>\frac{11}{13} = 0.\dot{8}4615\dot{3}, \frac{6}{13} = 0.\dot{4}6153\dot{8}, \frac{8}{13} = 0.\dot{6}1538\dot{4}</math>
}}
 
<math>\frac{2}{13}</math> の循環節 <math>153846</math> は
<math>76923 \times 2</math>,その他の循環置換に由って得られる.
 
{{初等整数論講義/example-end}}