天秤

アルキメデスがヒエロンの金冠の中に金細工の盗品を発見したことは、古代の文献を注意深く読む人にはよく知られているように、そのような偉大な人物がそのような発見の際に用いるべき方法は、今まで知られていなかったように思われるのだ。ある人が書いているように、王冠を水の中に入れ、その中にまず同重量の純金と銀を分けて入れ、水が多くなったり少なくなったりする違いから、王冠が構成する金と銀の混合物を知ることになったと考えるのは、いわば非常に粗雑で精巧とは程遠いように思われる。そして、このような神々しい人物の最も繊細な発明を彼の回顧録で読み、聞いた者には、なおさらそう思えるだろう。そこから、他のすべての発明はアルキメデスの発明より劣っており、アルキメデスの発明と同様のものを見つけることができるという希望は、誰にもほとんど残っていないことがあまりにも明らかである。アルキメデスが水を使ってそのような窃盗を発見したという名声が広まるにつれ、当時の作家がこの事実を記録に残し、その作家が、評判で聞いたわずかな情報に何かを加えるために、アルキメデスが当時誰もが信じていた方法で水を使ったと述べたと、私は十分に信じている。しかし、この方法は全く誤りであり、数学的な事柄に要求される正確さに欠けていることを知りながら、私は、水の助けを借りて、どのようにして二つの金属の混合物を絶妙に見つけることができるかを繰り返し考え、ついに、アルキメデスが水の中にあるものに関する本と同じ重さのものに関する本で示したものを熱心に調べた結果、この問題を非常にきれいに解決する方法が私の頭に浮かんできたのである。というのは、この方法は非常に正確であるばかりでなく、アルキメデス自身が発見した実証に基づくものだからである。

その方法は天秤によるもので、天秤の構造と使用方法は、この理解のために必要なことを述べた後で、これから説明することにする。まず、水の底に行く固体の重さは、空気中の固体に比べて、モルの中の水の重力と同じだけ軽くなることを知らなければならない。 これはアルキメデスによって証明されたが、彼の証明は非常に媒介的であるので、あまり進めないために、それは置いておいて、別の手段で述べることにする。では、例えば金の玉を水の中に入れてみると、もしそのような玉が水でできていれば、水の中の水は上にも下にも動かないので、重さはゼロになる、と考えてみよう。したがって、このような金の球は、金の重力が水の重力を上回った分だけ水の中で重くなることに変わりはなく、他の金属についても同じことが理解される。金属は互いに重力が異なるので、異なる割合に従って、水の中でその重力が減少することになる。たとえば、金の重さが水の20倍だとしよう。上記のことから、金は空気中よりも水中の方が、全重力の8分の1の重さになることは明らかである。ここで、銀は金より重くないが、水の12倍の重さがあるとしよう。これを水の中で量ると、重さは10分の2減少する。したがって、金の重力は水の中で銀の重力より小さく減少する。前者は20分の1、後者は12分の1減少するからである。そこで、天秤に金属を吊るし、もう一方の腕に、空中にある前記金属と同じ重さの分銅を吊るすと、分銅を空中に置いたまま金属を水に沈めると、前記分銅が金属と等しくなるので、垂直方向に引き抜く必要がある。例えば、天秤abの垂線はcであり、bにはある金属の塊がぶら下がり、錘dで重くされている。 しかし、同じ重さにするためには、例えばeのように、垂直線cに向かって引き抜く必要がある。距離caがaeの何倍もあるように、金属は水より何倍も重い。次に、bの重りが金で、水の中で重さを量ったときに、その重りdがeに戻ると仮定しよう。そして、非常に細かい銀で同じことをすると、水の中で重さを量ったときに、その重りがfに戻る。この点は、経験上、金よりも銀が軽いのでc点に近くなり、距離aと距離ACとの違いは、金と銀の重力差と同じであろう。しかし、金と銀を混ぜた場合、銀と金の混合物であれば純金より重くなく、金と銀の混合物であれば純銀より重くなることは明らかである。

しかし、金と銀が混在している場合、銀を摂取すれば純金より重さが軽くなり、金を摂取すれば純銀より重くなることは明らかである。しかし，空気中で計量し，混合物を水に浸したときに同じ重さを計量しようとすると，金の項である点eよりも垂線cの方に，同様に純銀の項であるfよりもcから離れたところに，前記重さを引き出すことが必要となるであろう。しかし、それはeとfの間に入るので、距離efを分割する割合によって、この混合物を構成する2つの金属の割合を正確に知ることができるだろう。例えば、金と銀の混合物がbの中にあり、空中でdの重さに対抗していると理解する。この重さは、混合物を水の中に入れるとgに戻る。今、私はこの混合物を構成する金と銀は、それらの間に距離fg、geと同じ割合で存在すると言う。しかし、銀の記号で終わる距離gfは金の量を示し、金の記号で終わる距離geは銀の量を示すので、fgが距離geの2倍を返すと、金2個、銀1個の混合物となることに注意しなければならない。そして、同じ順序で他の混合物の検査を進めると、単純な金属の量が正確に判明する。

そこで，天秤を作るには，少なくとも2ファゾムの長さの定規を取り，定規が長ければ長いほど，器具はより正確になる。それから，定規を真ん中で分割し，垂直な線が置かれたところで均衡するように調整し，重量の大きい方を薄くする。これができたら、あとは純金属の項間の距離を混合金属の符号で割った比率を簡単に求める方法を探せばよい。これは、このような形で実現されると私は考えている。

単純な金属の用語の上に、最も細い鋼鉄の紐の一本の糸を巻き、用語の間に残る間隔に、同じく最も細い真鍮の糸を巻き、これらの距離は多くの等しい粒子に分割されるでしょう。例えば、e,fの上に2本の鋼鉄の線（これは真鍮と区別するため）を巻き、e,fの間をすべて非常に細い真鍮の線で埋めていくと、空間efが多くの等しい粒子に分割されます。そして、fgとgeの割合を知りたいときは、fg線とge線を数え、fg線が40本、ge線が例えば21本であることを確認し、金40本、銀21本と混ぜることにする。

しかし、ここで注意しなければならないのは、数える際に困難が生じることだ。優秀であるために必要な糸が非常に細いため、その小さな空間に目がくらんでしまい、目で見て数を数えることができないのである。このようにして、一部は聴覚によって、一部は各糸の障害を見つけることによって、糸は容易に番号を付けられ、その数から、先に述べたように、混合物が構成する単体の正確な量を知ることができるのである。例えば、金と銀の混合物では、銀の端にある糸は金の量を示し、金の端にある糸は銀の量を示すように、他の混合物にも同じことが言える。